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Lmwcg'mwcwinduttanza di un mwdainduttore è il rapporto tra il mwdqflusso magnetico attraverso la superficie dell'induttore e l'intensità della corrente che lo attraversa; questa definizione fa riferimento al fenomeno dell'mwdginduzione elettromagnetica, che è la proprietà dei mwdwcircuiti elettrici per cui la variazione nel tempo della mweacorrente che li attraversa induce una mweqforza elettromotrice che, per la mweglegge di Lenz, è proporzionale alla variazione nel tempo del mwewflusso magnetico concatenato dal circuito.cite-ref-1[1]

Il rapporto tra flusso magnetico concatenato dal circuito e la corrente che genera tale flusso è un parametro fisso, dipendente dalla geometria e disposizione dei circuiti, detto mwgqcoefficiente di autoinduzione se riferito a flusso e corrente sullo stesso circuito (fenomeno dell'autoinduzione), o mwggcoefficiente di mutua induzione se riferito ad un flusso su un circuito generato da una corrente che circola in un altro circuito (fenomeno della mwgwmutua induzione).cite-ref-2[2]cite-ref-landau-3-0[3]

La mwjqgrandezza fisica associata è indicata con il simbolo mwjgL in onore del fisico mwjwHeinrich Lenz, mentre l'unità di misura è l'mwkahenry (simbolo mwkqH) in onore di mwkgJoseph Henry. Il termine fu utilizzato ufficialmente per la prima volta da mwkwHeaviside nel febbraio mwla1886.cite-ref-4[4] La grandezza fisica inversa è detta dissuadenza o inertanza, ed è indicata con il simbolo Γ.cite-ref-5[5]

• Definizione

• Proprietà dell'induttanza

• L'induttore

• Circuito RL

• Circuito RLC

• Tecniche di calcolo

• Coefficiente di autoinduzione

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Una corrente elettrica mwoai che scorre in un circuito elettrico produce un mwoqcampo magnetico nello spazio circostante: se la corrente varia nel tempo, il mwogflusso magnetico ΦmwowB del campo concatenato al circuito risulta variabile, determinando entro il circuito una mwpaforza elettromotrice indotta che si oppone alla variazione del flusso. Il coefficiente di autoinduzione mwpqL di un circuito, ad esempio una mwpgspira, è il rapporto tra il flusso del campo magnetico autoconcatenato, detto autoflussocite-ref-mazzoldi-6-0[6], e la corrente, ed è dato da:

mwrq L = Φ Φ B → → i {\displaystyle L={\frac {\Phi _{\vec {B}}}{i}}}

L'unità di misura dell'induttanza è detta mwrwhenry:

mwsg 1 H = 1 W b ⋅ ⋅ A − − 1 {\displaystyle 1\,H=1\,Wb\cdot \!A^{-1}} .

In un induttore di 1 henry, quindi, una variazione di corrente di 1 mwtaampere al secondo genera una forza elettromotrice di 1 mwtqvolt, che è pari alla variazione di flusso magnetico di 1 mwtgweber al secondo.

Analogamente la dissuadenza, o inertanza, di un circuito generico sarà pari a:

mwug Γ Γ = i Φ Φ B = 1 L {\displaystyle \Gamma ={\frac {i}{\Phi _{B}}}={\frac {1}{L}}}

L'equazione che definisce l'induttanza può essere riscritta in questo modo:

mwww Φ Φ B = L i {\displaystyle \Phi _{B}=Li}

Derivando entrambi i membri rispetto al tempo:

mwxw d Φ Φ B d t = L d i d t + i d L d t {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=L{\frac {di}{dt}}+i{\frac {dL}{dt}}}

In molti casi fisici l'induttanza può essere considerata costante rispetto al tempo (o tempo-invariante), per cui:

mwyw d Φ Φ B d t = L d i d t {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=L{\frac {di}{dt}}}

Dalla mwzqlegge di Faraday, applicata alla mwzgcircuitazione del circuito costituito dalla induttanza stessa, si ha:

mwaq − − d Φ Φ B d t = E = V {\displaystyle -{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}={\mathcal {E}}=V}

dove mwaw E {\displaystyle {\mathcal {E}}} è la mwbaforza elettromotrice (f.e.m.) e mwbqV è il potenziale indotto ai morsetti del circuito in questione.

Combinando le equazioni precedenti si ha:

mwcq − − L d i ( t ) d t = E = V ( t ) {\displaystyle -L{\frac {di(t)}{dt}}={\mathcal {E}}=V(t)}

da cui si evince che l'induttanza mwcwL di un componente attraversato da corrente variabile si può definire operativamente come l'opposto del rapporto tra la f.e.m autoindotta e generata ai morsetti del componente e la derivata della corrente mwdadi(t)/dt che lo attraversa.

mwdgLegge di Lenz

mweq d Φ Φ B d t = − − E = V {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=-{\mathcal {E}}=V}

L'origine del segno meno è una conseguenza della mwewlegge di Lenz che applicata a un induttore afferma in sostanza che la mwfaf.e.m. autoindotta ai capi di un componente si oppone alla variazione di corrente che lo attraversa. Per questo motivo l'induttanza è definita positiva.

L'energia immagazzinata in un mwfgsolenoide può essere espressa per mezzo della sua induttanza caratteristica mwfwL e della corrente mwgai che scorre nelle sue spire.

La relazione è

mwha W = 1 2 L i 2 {\displaystyle W={\frac {1}{2}}Li^{2}}

dove mwhgW è l'energia immagazzinata.

La mwialegge di Ohm esprime la relazione fra la tensione e una corrente stazionaria, mentre quella di mwiqFaraday il legame fra tensione e una corrente elettrica variabile.

In termini circuitali, l'induttore è un mwjqcomponente passivo in cui l'aspetto induttivo prevale su quello mwjgcapacitivo e su quello mwjwresistivo. Esso è generalmente costituito dall'avvolgimento di un filo conduttore intorno ad un nucleo di materiale magnetico (ferrite). La relazione costitutiva di un induttore di induttanza mwkaL è la stessa riportata sopra. Valori tipici di induttanza vanno dai nanohenry (mwkqnH) ai millihenry (mwkgmH).

Se un'impedenza di tipo puramente induttivo viene attraversata da una corrente sinusoidale del tipo:

mwlg i ( t ) = I M cos ⁡ ⁡ ( ω ω t + ϕ ϕ o ) {\displaystyle i(t)=I_{M}\cos(\omega t+\phi _{o})} ,

dove mwma I M {\displaystyle I_{M}} è il valore di corrente massimo, mwmq ω ω {\displaystyle \omega } è la pulsazione angolare della sinusoide e mwmg ϕ ϕ o {\displaystyle \phi _{o}} è la fase della corrente, la tensione che comparirà sul ramo dell'impedenza sarà:

mwnq v ( t ) = L d i ( t ) d t = − − L ω ω I M s e n ( ω ω t + ϕ ϕ o ) = L ω ω I M cos ⁡ ⁡ ( ω ω t + ϕ ϕ o + π π 2 ) {\displaystyle v(t)=L{di(t) \over dt}=-L\omega I_{M}\mathrm {\,sen} (\omega t+\phi _{o})=L\omega I_{M}\cos(\omega t+\phi _{o}+{\pi \over 2})} .

Nel ramo di un'impedenza completamente induttiva, quindi, le sinusoidi di tensione e corrente risultano sfasate di 90° e, in particolare, la tensione è in anticipo sulla corrente di 90°.

Nel dominio dei mwoafasori le espressioni di corrente e tensione diventano:

mwow I = I M e j ( ω ω t + ϕ ϕ o ) {\displaystyle \mathbf {I} =I_{M}e^{j(\omega t+\phi _{o})}}

e

mwpw V = ω ω L I M e j ( ω ω t + ϕ ϕ o ) e j π π 2 = j ω ω L I M e j ( ω ω t + ϕ ϕ o ) {\displaystyle \mathbf {V} =\omega LI_{M}e^{j(\omega t+\phi _{o})}e^{j\pi \over 2}=j\omega LI_{M}e^{j(\omega t+\phi _{o})}} .

Dalla legge di Ohm delle impedenze:

mwqw Z = V I {\displaystyle \mathbf {Z} ={\mathbf {V} \over \mathbf {I} }}

si ha che l'impedenza di un induttore puro è:

mwrw Z = j ω ω L {\displaystyle \mathbf {Z} =j\omega L} ,

dove mwsqω è la mwsgpulsazione complessa espressa in mwswradianti al mwtasecondo (pari alla frequenza in mwtqhertz moltiplicata per 2mwtgπ), e mwtwj è l'mwuaunità immaginaria.

Data la relazione costitutiva dell'induttore, la corrente in esso è una mwugfunzione continua, mentre la tensione non lo è necessariamente.

In condizioni statiche (mwvacorrente continua), l'induttore ideale è equivalente ad un mwvqcorto circuito.

Data la necessità di inserire un nucleo di ferrite per ottenere valori apprezzabili di induttanza, l'induttore è il componente meno facile da integrare, e quindi viene spesso simulato tramite opportuni componenti attivi (convertitore d'impedenza generalizzato o GIC). A frequenze molto elevate, dell'ordine di centinaia di megahertz, l'impedenza mostrata dall'induttore diventa accettabile anche in presenza di basse induttanze, ed è quindi possibile realizzare induttori senza nucleo (induttore mwvwin aria).

Si chiama mwywcircuito RL in evoluzione libera il circuito mostrato in figura composto da una resistenza e da un mwzainduttore percorso da mwzqcorrente. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne di mwzgtensione o di mwzwcorrente.

Per trattare questo circuito è conveniente usare i teoremi che riguardano le correnti vista la dualità lineare del comportamento dei circuiti tra la tensione e la corrente. Al tempo mw0qtmw0g0 = 0 la corrente ai capi di mw0wL è mw1aimw1qL(0) ≠ 0, questa viene presa come condizione iniziale.

Applicando la mw1wlegge di Kirchhoff per le intensità di corrente, l'equazione del circuito è:

mw2g i ( t ) + i L ( t ) = 0 → → v ( t ) R + i L ( t ) = 0 {\displaystyle i(t)+i_{L}(t)=0\;\rightarrow {\frac {v(t)}{R}}+i_{L}(t)=0}

dove mw3ai(t) è la mw3qcorrente elettrica circolante. Ricordando che la relazione caratteristica dell'induttore è:

mw4a v ( t ) = L ⋅ ⋅ d i L ( t ) d t {\displaystyle v(t)=L\cdot {\frac {di_{L}(t)}{dt}}}

la legge di Kirchhoff diventa un'mw4gequazione differenziale omogenea del primo ordine:

mw5q L R ⋅ ⋅ d i L ( t ) d t + i L ( t ) = 0 → → d i L ( t ) d t + R L i L ( t ) = 0 . {\displaystyle {\frac {L}{R}}\cdot {\frac {di_{L}(t)}{dt}}+i_{L}(t)=0\;\rightarrow \;{\frac {di_{L}(t)}{dt}}+{\frac {R}{L}}i_{L}(t)=0{.}}

Per la teoria delle equazioni differenziali, la soluzione è:

mw6q i L ( t ) = i L ( 0 ) ⋅ ⋅ e − − t R / L {\displaystyle i_{L}(t)=i_{L}(0)\cdot e^{-tR/L}}

e di conseguenza la tensione è

mw7q v ( t ) = L ⋅ ⋅ d i L ( t ) d t = − − R ⋅ ⋅ i L ( 0 ) ⋅ ⋅ e − − t R / L {\displaystyle v(t)=L\cdot {\frac {di_{L}(t)}{dt}}=-R\cdot i_{L}(0)\cdot e^{-tR/L}}

Al rapporto mw7w L R = τ τ [ s ] {\displaystyle {\frac {L}{R}}=\tau \,\mathrm {[s]} } viene dato il nome di costante di tempo del circuito ed una quantità caratteristica costante del circuito.

Fisicamente la quantità di corrente contenuta nell'induttore tramite la relazione al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, viene scaricata entro il circuito: tale corrente elettrica si dissipa completamente nella resistenza mw8qR secondo la soluzione appena trovata: la corrente tende esponenzialmente a zero per mw8gt → ∞. Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

mw9q i ( τ τ ) = 1 e . {\displaystyle i(\tau )={\frac {1}{e}}{.}}

In generale, si dice RLC un circuito che contenga solo mw-qresistori (R), mw-ginduttori (L) e mw-wcondensatori (C). Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga anche altri elementi passivi, ma nessun elemento attivo.

I circuiti RLC sono mw-qsistemi lineari, per lo più stazionari (ma non necessariamente). In particolare, ciò significa che un circuito RLC mw-gnon può creare frequenze dal nulla: può eventualmente sopprimerle. Infatti, la nascita di nuove frequenze (distorsione) avviene soltanto negli elementi attivi a mw-wsemiconduttore e negli elementi non lineari, come mwaqadiodi e mwaqetransistor.

La procedura generale per il calcolo dell'induttanza è data dal calcolo del flusso in funzione della corrente. Il flusso del campo magnetico mwaqq B {\displaystyle \mathbf {B} } attraverso una superficie aperta mwaqu Σ Σ {\displaystyle \Sigma } vale:

mwaqg Φ Φ = ∫ ∫ Σ Σ B ⋅ ⋅ d S {\displaystyle \Phi =\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }

Per il mwaqoteorema del rotore, detta mwaqs Λ Λ {\displaystyle \Lambda } la frontiera della superficie e mwaqw A {\displaystyle \mathbf {A} } il mwaq0potenziale magnetico, si ottiene:

mwara Φ Φ = ∮ ∮ Λ Λ A ⋅ ⋅ d r {\displaystyle \Phi =\oint _{\Lambda }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} }

Ricordando che il potenziale magnetico dato da una corrente mwariI che scorre in un circuito filiforme (ossia, di cui è trascurabile la sezione) mwarm Λ Λ ′ {\displaystyle \Lambda '} valecite-ref-landau-3-1[3]

mwaro A ( r ) = μ μ 0 4 π π ∮ ∮ Λ Λ ′ I d r ′ | r − − r ′ | {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\Lambda '}{\frac {I\,d\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}}

si ottiene la formula per il calcolo del coefficiente di mutua induzione tra il circuito mwarw Λ Λ {\displaystyle \Lambda } ed il circuito mwar0 Λ Λ ′ {\displaystyle \Lambda '} :

mwasa L = Φ Φ I = μ μ 0 4 π π ∮ ∮ Λ Λ ∮ ∮ Λ Λ ′ d r ′ ⋅ ⋅ d r | r − − r ′ | {\displaystyle L={\frac {\Phi }{I}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\Lambda }\oint _{\Lambda '}{\frac {d\mathbf {r} '\cdot d\mathbf {r} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}}

Come si vede dalla formula precedente, i coefficienti di mutua induzione sono intrinsecamente simmetrici e dipendono solo dalla geometria dei circuiti. Per quanto riguarda i coefficienti di autoinduzione, l'integrale doppio di linea valido per la mutua induzione è divergente; in questo caso non è applicabile l'approssimazione di considerare il circuito filiforme e bisogna invece calcolare il potenziale magnetico tramite l'integrale della densità di corrente.cite-ref-den12-7-0[7]

| Tipo | Autoinduzione | Commento |

|---|---|---|

| Bobina a uno strato [ 8 ] | Q μ 0 r 2 N 2 3 l [ − 8 w + 4 1 + m m ( K ( m 1 + m ) − ( 1 − m ) E ( m 1 + m ) ) ] {\displaystyle Q{\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}}{3l}}\left[-8w+4{\frac {\sqrt {1+m}}{m}}\left(K\left({\sqrt {\frac {m}{1+m}}}\right)-\left(1-m\right)E\left({\sqrt {\frac {m}{1+m}}}\right)\right)\right]} = μ 0 r 2 N 2 π l [ 1 − 8 w 3 π + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! 2 n ! 4 ( n + 1 ) ( 2 n − 1 ) 2 2 n ( − 1 ) n + 1 w 2 n ] {\displaystyle ={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left[1-{\frac {8w}{3\pi }}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(2n\right)!^{2}}{n!^{4}\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}}}\left(-1\right)^{n+1}w^{2n}\right]} = μ 0 r 2 N 2 π l ( 1 − 8 w 3 π + w 2 2 − w 4 4 + 5 w 6 16 − 35 w 8 64 + . . . ) {\displaystyle ={\frac {\mu _{0}r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left(1-{\frac {8w}{3\pi }}+{\frac {w^{2}}{2}}-{\frac {w^{4}}{4}}+{\frac {5w^{6}}{16}}-{\frac {35w^{8}}{64}}+...\right)} per w << 1 = μ 0 r N 2 [ ( 1 + 1 32 w 2 + O ( 1 w 4 ) ) ln ⁡ ( 8 w ) − 1 / 2 + 1 128 w 2 + O ( 1 w 4 ) ] {\displaystyle =\mu _{0}rN^{2}\left[\left(1+{\frac {1}{32w^{2}}}+O\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right)\ln(8w)-1/2+{\frac {1}{128w^{2}}}+O\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right]} per w >> 1 | N {\displaystyle N} : Numero di spire r {\displaystyle r} : Raggio l {\displaystyle l} : Lunghezza w = r / l {\displaystyle w=r/l} m = 4 w 2 {\displaystyle m=4w^{2}} E , K {\displaystyle E,K} : Integrali ellittici |

| Cavo coassiale, frequenza alta | μ 0 l 2 π ln ⁡ ( a 1 a ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {a_{1}}{a}}\right)} | a 1 {\displaystyle a_{1}} : Raggio esterno a {\displaystyle a} : Raggio interno l {\displaystyle l} : Lunghezza |

| Spira circolare [ 9 ] | μ 0 r ⋅ ( ln ⁡ ( 8 r a ) − 2 + Y 2 + O ( a 2 / r 2 ) ) {\displaystyle \mu _{0}r\cdot \left(\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\frac {Y}{2}}+O\left(a^{2}/r^{2}\right)\right)} | r {\displaystyle r} : Raggio della spira a {\displaystyle a} : Raggio del filo |

| Rettangolo [ 10 ] | μ 0 π ( b ln ⁡ ( 2 b a ) + d ln ⁡ ( 2 d a ) − ( b + d ) ( 2 − Y 2 ) + 2 b 2 + d 2 ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\ln \left({\frac {2b}{a}}\right)+d\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)-\left(b+d\right)\left(2-{\frac {Y}{2}}\right)+2{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}\right)} − μ 0 π ( b ⋅ arsinh ⁡ ( b d ) + d ⋅ arsinh ⁡ ( d b ) + O ( a ) ) {\displaystyle \;\;-{\frac {\mu _{0}}{\pi }}\left(b\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {b}{d}}\right)+d\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {d}{b}}\right)+O\left(a\right)\right)} | b , d {\displaystyle b,d} : Lunghezza di bordo d ≫ a {\displaystyle d\gg a} , b ≫ a {\displaystyle b\gg a} a {\displaystyle a} : Raggio del filo |

| Coppia di fili paralleli | μ 0 l π ( ln ⁡ ( d a ) + Y 2 ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\left(\ln \left({\frac {d}{a}}\right)+{\frac {Y}{2}}\right)} | a: Raggio del filo d: Distanza, d = 2a l {\displaystyle l} : Lunghezza di coppia |

| Coppia di fili paralleli, frequenza alta | μ 0 l π arcosh ⁡ ( d 2 a ) = μ 0 l π ln ⁡ ( d 2 a + d 2 4 a 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{\pi }}\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)} | a {\displaystyle a} : Raggio del filo d {\displaystyle d} : Distanza, d ≥ 2 a {\displaystyle d\geq 2a} l {\displaystyle l} : Lunghezza di coppia |

| Filo di fronte a un muro perfettamente conduttore | μ 0 l 2 π ( ln ⁡ ( 2 d a ) + Y 2 ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\left(\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)+{\frac {Y}{2}}\right)} | a {\displaystyle a} : Raggio del filo d {\displaystyle d} : Distanza, d ≥ a {\displaystyle d\geq a} l {\displaystyle l} : Lunghezza |

| Filo di fronte a un muro conduttore, frequenza alta | μ 0 l 2 π arcosh ⁡ ( d a ) = μ 0 l 2 π ln ⁡ ( d a + d 2 a 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)={\frac {\mu _{0}l}{2\pi }}\ln \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)} | a {\displaystyle a} : Raggio del filo d {\displaystyle d} : Distanza, d ≥ a {\displaystyle d\geq a} l {\displaystyle l} : Lunghezza |

Il simbolo mwaaq μ μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} è la mwaaupermeabilità magnetica del vuoto (4mwaayπ×10mwaac−7 H/m). In caso di alte frequenze della corrente essa scorre sulla superficie del conduttore (mwaageffetto pelle) e mwaak Y = 0 {\displaystyle Y=0} . Per frequenze basse mwaao Y = 1 / 2 {\displaystyle Y=1/2} .

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• mwah0Autoinduzione

• mwah8Forza elettromotrice

• mwaieInduzione elettromagnetica

• mwaimMutua induzione

• mwaiuCircuito RL

• mwaicCircuito RLC

• mwaikInduttanza cinetica

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'induttanza

• citereftreccani-itInduttanza, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefvocabolario-treccaniInduttanza, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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• mwajaAutoinduzione in regime sinusoidale lezione interattiva